定理 6B の証明スケッチと固有値解析

定理 6B(Collective Efficacy)は、N 人の集団の各エフィカシー $E_i$ の動学を扱います。本章では結合行列の固有値解析で、High Shared と Low Shared の本質的な差を数理的に明らかにします。

6B の中心式(再掲)

$$ \frac{dE_i}{dt} = (1 - E_i) \left[ \rho_i B_i + \sum_{j \neq i} \gamma_{ij} C^{L/H}_{ij} E_j \right] $$

各記号:

• $E_i$ : 個人 $i$ のエフィカシー
• $\rho_i B_i$ : 個人 $i$ の素地項(Bandura 4 源)
• $\gamma_{ij}$ : $i$ に対する $j$ の影響度(社会的結合強度)
• $C^{L/H}_{ij}$ : 結合の 質(Low / High Shared)

ベクトル表記

集団の状態を $\mathbf{E} = (E_1, E_2, \ldots, E_N)^\top$ と書くと、6B は次のベクトル微分方程式に整理できます。

$$ \dot{\mathbf{E}} = \mathrm{diag}(1 - E_i) \big[\boldsymbol{\rho} \cdot \mathbf{B} + A \mathbf{E}\big] $$

ここで $A$ は 結合行列:

$$ A_{ij} = \begin{cases} \gamma_{ij} C^{L/H}_{ij} & i \neq j \\ 0 & i = j \end{cases} $$

$\boldsymbol{\rho} \cdot \mathbf{B}$ は素地ベクトル(個人差を反映)。

線形化(平衡点近傍)

非線形項 $\mathrm{diag}(1 - E_i)$ を扱うため、平衡点 $\mathbf{E}^* = (E_1^*, \ldots, E_N^*)$ の近傍で線形化します。

$\mathbf{E}^*$ を線形化点として:

$$ \dot{\mathbf{e}} = J \mathbf{e}, \quad \mathbf{e} = \mathbf{E} - \mathbf{E}^* $$

ここで $J$ は Jacobian 行列(系の安定性を決める)。

主要部の解析では $J$ は結合行列 $A$ と素地項の組み合わせで近似的に書けます。

固有値解析が決める安定性

$J$ の固有値 $\{\lambda_k\}$ で系の挙動が決まります。

Case High Shared($C^H$ 結合)

High Shared では $A_{ij} > 0$ で揃いやすく、行列 $A$ は 既約 で 正の主固有値 を持つ(Perron-Frobenius の定理)。

$$ \lambda_{\max}(A) > 0, \quad \text{対応する固有ベクトルは正の成分のみ} $$

含意:

• 対応する固有方向への摂動は 指数的に増幅(全員 E が同じ方向 = 上昇方向に動く)
• 平衡点 $\mathbf{E}^* = (1, 1, \ldots, 1)$(全員 E = 1)が 大域吸引子 になる
• 集団 Lyapunov 関数 $\Psi_E = \sum (1 - E_i)$ が単調減少 → 全員 E → 1

Case Low Shared($C^L$ 結合)

Low Shared では $A_{ij}$ の符号が混在(同質性で固定 / 敵対で負 / 不安定)し、$A$ の固有値構造が壊れる:

$$ \lambda_k(A) \text{ の符号が混在} \quad \text{or} \quad \mathrm{Re}(\lambda_k) < 0 \text{ の方向が集団 E を 0 に押す} $$

含意:

• 局所最適に陥る(部分集合だけが平衡し、残りは沈む)
• 全員 E → 0 への発散方向が出現
• $\Psi_E$ が増加する局所領域が存在

Perron-Frobenius の定理(直観)

正の要素のみの行列(または既約な非負行列)は次の性質を持ちます:

最大固有値は実数で正、対応する固有ベクトルは正の成分のみ

直観的には:「全員一斉に上がる方向」が支配的なモードになる。これが High Shared で全員の E が上昇する数理的根拠です。

逆に、符号が混在する行列ではこの定理が適用できず、固有モードがバラバラの方向を指す。これが Low Shared での集団崩壊の根拠。

ネットワーク Laplacian との接続

社会ネットワーク理論では、Laplacian 行列:

$$ L = D - A $$

($D$ は次数行列)が同期と多様性のトレードオフを決めます。Laplacian の固有値スペクトル(Fiedler 値 等)が集団の連結性を測る。

T 理論的には:

• 強い High Shared 結合:Laplacian の Fiedler 値が大きい(高速同期)→ 集団 E が早く揃う
• 弱い結合:Fiedler 値が小さい(遅い拡散)→ 集団 E の同期が遅い
• 負の結合(対立):Laplacian が不安定モードを持つ → 集団崩壊

これは社会ネットワーク科学(Watts-Strogatz・Barabási-Albert モデル等)とつながる橋渡し。

LUB が結合の質を決める理由

なぜ「LUB(共通の上位目的)で結合する」と $C^H$ になるのか。直観的に:

• LUB がある → メンバーの差異が 同じ目的への異なる経路として機能 → 補完的
• LUB がない → 差異は単なる衝突 → 摩擦的(負の $A_{ij}$)

数理的には、LUB を 隠れ変数(latent variable)として導入すると、結合行列が次のように分解できます:

$$ A_{ij} = \alpha_i \alpha_j \cdot \mathbb{1}[\text{LUB shared}] - \beta_{ij} \cdot \mathbb{1}[\text{conflict}] $$

LUB が共有されている部分は 正のランク 1 行列 $\alpha \alpha^\top$ が支配 → Perron-Frobenius が効く → High Shared。

LUB がない場合、第二項の対立成分が支配 → 不安定。

集合 Lyapunov 関数 $\Psi_E$

定理 6B の証明では次の Lyapunov 関数を使います:

$$ \Psi_E = \sum_{i=1}^N \omega_i (1 - E_i), \quad \omega_i > 0 $$

「全員の 1 - E の重み付き和」 = 「全員 E が 1 に到達するまでの距離」。

時間微分:

$$ \dot{\Psi}_E = -\sum_i \omega_i \dot{E}_i = -\sum_i \omega_i (1 - E_i) \big[\rho_i B_i + (A \mathbf{E})_i\big] $$

High Shared かつ Perron-Frobenius が効く範囲で:

$$ \dot{\Psi}_E \le -\lambda_{\Psi} \Psi_E, \quad \lambda_\Psi > 0 $$

これに B.1 補題を適用 → 指数収束。

反転の境界 — どこから Low Shared に転落するか

High → Low の境界は、結合行列 $A$ の 正の主固有値が消失する点:

$$ \lambda_{\max}(A) > 0 \quad \to \quad \lambda_{\max}(A) \le 0 $$

実用的には:

• 共通の LUB が薄れる(志の希薄化)
• 敵対関係が増える(負の $A_{ij}$ 増加)
• 同質化が進む(差異が消えて補完が消失)

この境界を超えると 同じ集団でも質が反転 します。組織は High Shared から Low Shared に 連続的にではなく不連続に転落しうる、というのが固有値解析の含意。

数理的な細部

形式証明には次が必要:

1. 結合行列 $A$ の 既約性(Perron-Frobenius の前提)
2. 平衡点の存在(全員 E = 1 が反応動学の不動点)
3. 線形化近傍で大域漸近安定が保証される範囲
4. 非線形項 $(1 - E_i)$ の 天井効果を含めた厳密扱い
5. ノイズ・確率項を入れた場合の安定性(stochastic Lyapunov)

これらは大規模系のネットワーク理論の標準ツールで扱われます。

次章への接続

ここまでで定理 6A・6B の証明スケッチが揃いました。次章では LUB(最小上界)を 半順序集合の数学として精密化します。Galois connection・包摂半順序束の構成を扱います。