定理 6A の証明スケッチ

本章では定理 6A(エフィカシー加重ゴール収束)の証明スケッチを組み立てます。中心式 Ṽ_E を Lyapunov 関数として B.1 補題を適用し、エフィカシー作用下での指数収束を導く流れを追います。

定理 6A の主張(再掲)

中心式:

$$ \tilde{V}_E(y, t \mid x_t) = V_0(y, t) - \kappa_+ P(y, t) Q_+(y, t) E(y, t \mid x_t) + \kappa_- P(y, t) Q_-(y, t) $$

主張:適切な制御 $\pi_c(x)$ のもと、エフィカシー $E$ が有意に動く範囲で、軌道は 指数的に $\tilde{V}_E$ の最小化点へ収束する。

証明スケッチ — B.1 補題の特殊化

B.1 補題の 5 ステップを順に。

Step 1 — Φ の選択

評価関数として $\Phi = \tilde{V}_E$ を採用。これが Lyapunov 関数候補。

ただし前章 §「設計の落とし穴」で見たように、素朴な $\tilde{V}_E$ は非負性を保証しないため、実装上は次のいずれかを取ります:

選択 A:範囲制約のもとで $\tilde{V}_E \ge 0$ を仮定 - $\kappa_+ P Q_+ E$ の上限と $\kappa_- P Q_-$ の下限を設定 - $V_0$ の下界を 0 と置く

選択 B:二乗形式に修正 $$ \Phi = \big(\tilde{V}_E\big)^2 \quad \text{または} \quad \Phi = \tilde{V}_E - \min_y \tilde{V}_E $$

本章では選択 A を取り、$\tilde{V}_E \ge 0$ が成り立つ動作領域に話を限定します。

Step 2 — 正則条件の検証

$\tilde{V}_E$ が次を満たすか確認:

1. 非負性 $\tilde{V}_E \ge 0$:選択 A の前提により ✓
2. 連続微分可能性 $\tilde{V}_E \in C^1$:$V_0, P, Q_\pm, E$ がすべて $C^1$ なら和・積も $C^1$ ✓
3. 最小性 $\tilde{V}_E(y^*) = 0$:目標点 $y^*$ で $V_0 = \kappa_+ P Q_+ E$ かつ $\kappa_- P Q_- = 0$ となる場合 ✓

注:正則条件 ① は選択 A の前提で守られているだけで、現実の認知系では守られない場面があります(完全情報)。

Step 3 — 減少条件の導出

時間微分 $\dot{\tilde{V}}_E$ を計算:

$$ \dot{\tilde{V}}_E = \dot{V}_0 - \kappa_+ \big(\dot{P} Q_+ E + P \dot{Q}_+ E + P Q_+ \dot{E}\big) + \kappa_- \big(\dot{P} Q_- + P \dot{Q}_-\big) $$

ここで重要な仮定:

仮定 A — 制御は $V_0$ を減少させる:適切な $u(t)$ により $\dot{V}_0 \le -\lambda_0 V_0$。

仮定 B — エフィカシー作用:介入により $\dot{E} \ge \mu (1 - E)$、ある $\mu > 0$。これは Bandura 4 源(達成・代理・説得・生理)からのフィードバックを集約した動学。

仮定 C — Q の安定性:本人の wh が短期で変動しない $\to \dot{Q}_\pm \approx 0$。

仮定 A, B, C のもとで、適切な範囲で:

$$ \dot{\tilde{V}}_E \le -\lambda \tilde{V}_E, \quad \text{ある } \lambda > 0 $$

が示せる。$\lambda$ の具体形は仮定の係数 $\lambda_0, \mu, \kappa_\pm$ に依存。

Step 4 — Grönwall 比較定理の適用

$\dot{\tilde{V}}_E \le -\lambda \tilde{V}_E$ から、Grönwall 補題:

$$ \tilde{V}_E(t) \le \tilde{V}_E(0) \cdot e^{-\lambda t} $$

つまり主観評価は 指数的に 0 へ収束する。

Step 5 — 前方不変性

$\tilde{V}_E$ が単調減少 → 軌道は $\tilde{V}_E$ の等高線を下に降りるだけ → TCZ($\tilde{V}_E \le \theta$ の集合)から出ない。

接近項のみ E が掛かる構造の証明

中心式の特徴:接近項 $-\kappa_+ P Q_+ E$ には E、回避項 $+\kappa_- P Q_-$ には E が掛からない。これは仮定 B の表現にどう反映されるか。

時間微分の中で $\dot{E}$ が現れるのは接近項のみ:

$$ \frac{\partial \tilde{V}_E}{\partial E} = -\kappa_+ P Q_+ \quad \text{(接近項のみ)} $$

回避項の $\partial / \partial E = 0$。つまり E のリフトは接近項を直接動かすが、回避項には影響しない。

数理的には:

$$ \dot{\tilde{V}}_E = \cdots - \kappa_+ P Q_+ \dot{E} + \cdots $$

仮定 B により $\dot{E} > 0$ ⇒ 接近項の減少 → $\tilde{V}_E$ の減少。

逆に E が低い場合 $\dot{E} \approx 0$ で、減少は $V_0$ の自然減衰のみに依存し、回避項 $+\kappa_- P Q_-$ が大きいと $\tilde{V}_E$ は減少しない(動けない)。

これが「E が低いと駆動力が立たない」初級編 §4 の数理的記述です。

仮定 B の詳細 — エフィカシー動学

$\dot{E} \ge \mu (1 - E)$ という形は、ロジスティック型の上昇を表します:

• $E$ が低い時:$\dot{E} \approx \mu$ で上昇率最大
• $E$ が 1 に近い時:$\dot{E} \approx 0$ で上昇が遅くなる
• 天井効果:$E$ は 1 を超えない

$\mu$ は 介入強度:Bandura 4 源の活発さ・コーチングの介入頻度・社会的サポート(集合 E、定理6B 参照)に依存。

数学的な細部 — 厳密化への道

このスケッチは 形式化の骨格で、厳密な証明には次が必要です:

1. $V_0, P, Q, E$ の 微分可能性条件 の確認(リプシッツ連続性 等)
2. 解の存在と一意性 の証明(常微分方程式の標準理論)
3. 仮定 A, B, C が 同時に矛盾なく成り立つ 領域の特定
4. 境界条件 $V_0 \to 0$, $E \to 1$ での挙動の精密化

これらは形式論文レベルでの作業で、本章のスケッチを超えます。「証明できる構造はある、ただし本書は形式証明ではない」 が中級編の正直な立場です。

反証可能な命題

定理 6A は形式的に書けますが、経験的には次の命題が反証可能です:

仮定 B のもとで E のリフト介入は接近動機の発火確率を有意に上げる

これは RCT で検証可能。

高 E 群と低 E 群で、同一の Q_+ 状態において接近行動の発生率が有意に異なる

これも検証可能。

T 理論の経験的妥当性は、こうした 派生命題の独立検証で確かめられる。現時点でこの種の RCT は限定的で、今後の検証課題(初級編 §「数学的厳密性」と整合)。

次章への接続

定理 6A は 個人のエフィカシー収束。次章では 集団のエフィカシー(定理6B Collective Efficacy)を扱い、結合行列 $[\gamma_{ij} C^{L/H}_{ij}]$ の 固有値解析で High Shared と Low Shared の相違を数理的に区別します。