中心式 Ṽ = V₀ − κPQ の導出

中心式 Ṽ = V₀ − κPQ は T 理論の核ですが、これがどこから出てくるかは初級編では「主張」として渡しただけでした。本章ではこの式を、客観評価から主観評価への移行という認知心理学的・数理的構造から導出します。

客観 V₀ から主観 Ṽ への問い

物理系では客観的なエネルギー関数 $V_0$ がそのまま意思決定の評価基準になります。しかし認知系では、客観評価 V₀ と主観評価 Ṽ にズレがあることが経験的に観察されます。

例:

• 客観的に同じ「年収 500 万円」でも、ある人にはコンフォート(Ṽ 低)、別の人にはストレス(Ṽ 高)
• 客観的に同じ「明日のプレゼン」でも、リハ済みなら平気、未準備なら恐怖

このズレを 臨場感のある別世界の引力で説明するのが定理4の発想です。

仮定 1 — 評価の二層構造

認知主体の評価関数を 客観層 + 補正層の和として書き出します。

$$ \tilde{V}(x, t) = V_0(x, t) + C(x, t) $$

$C$ が 補正項(correction term)。客観 $V_0$ から主観 $\tilde{V}$ への調整です。

仮定 2 — 補正項は別世界の臨場感に依存

$C$ は、現在の世界 $x$ から見て、別の可能世界 $w_*$ がどれだけリアルに感じられるかで決まると仮定します。

$$ C(x, t) = - f\big(P(x \to w_*, t),\, Q(w_*) \big) $$

• $P(x \to w_*, t)$ : 現状から目標世界 $w_*$ への臨場感
• $Q(w_*) \in \{-1, +1\}$ : 目標世界の価値符号(接近/回避)
• $f$ : 未知の関数(これから決める)

マイナス記号は、接近価値の強い世界(Q = +1)がリアルに見えると主観評価が下がる(楽になる)ことを表します。

仮定 3 — $f$ の線形分離可能性

$f$ を 線形 + $P$ と $Q$ について 分離可能 と仮定:

$$ f(P, Q) = \kappa \cdot P \cdot Q $$

$\kappa$ は 臨場感の効き目係数(個人差・コンテキスト依存)。

なぜ線形分離可能性を仮定するか:

1. 計算可能性:複雑な相互作用を入れると解析できなくなる
2. 第一近似:小さな $P$ について Taylor 展開すれば線形が出る
3. 経験的フィット:実験データで線形仮定が大きく外れない範囲がある

これらは 強い理想化ですが、第一近似として B.1 補題が動く形に持ち込むための代償です。

中心式の出来上がり

3 つの仮定から:

$$ \tilde{V}(x, t) = V_0(x, t) - \kappa \cdot P(x \to w_*, t) \cdot Q(w_*) $$

これが 定理4 の中心式です。

P と Q の AND が必須となる理由

線形分離可能性 $f = \kappa P Q$ から自動的に出る性質:

$$ \kappa \cdot 0 \cdot Q = 0, \quad \kappa \cdot P \cdot 0 = 0 $$

P または Q が 0 ならば積は 0。これが 「P と Q は AND で効く」(初級編 §3 の含意)の数理的根拠です。

「願えば叶う」(P だけ)が効かないのは、Q が立っていないと積が 0 になるため。

仮定の限界 — 線形分離可能性の破れ

実際の認知では:

限界 1 — 相互作用項

$f$ が真に線形分離なら $\partial^2 f / \partial P \partial Q = \kappa$ で一定です。しかし実際は 相互作用項が存在する可能性:

$$ f(P, Q) = \kappa P Q + \alpha P^2 Q + \beta P Q^2 + \cdots $$

第一近似(線形)を超える解析は、より洗練されたモデル(深層強化学習等)で扱われます。

限界 2 — Q の二値化

$Q \in \{-1, +1\}$ は離散化された価値符号です。実際は 連続スペクトル(嫌い → どちらでもない → 好き)で、$Q \in [-1, +1]$ あるいは $\mathbb{R}$ に拡張できる。

T 理論では二値化は計算簡単化のための仮定で、必要に応じて連続化できます。

限界 3 — 多目標世界

ひとつの目標世界 $w_*$ ではなく 複数 $\{w_1^*, w_2^*, \ldots\}$ がある場合、補正項は和になる:

$$ C = -\sum_k \kappa_k P_k Q_k $$

これは バランスホイール(定理5) や 複数 want-to の LUB(定理3) への接続点です。

期待値版の中心式

時間積分・期待値で書き直すと:

$$ \pi_c(x) = \arg\min_{u(t)} \mathbb{E}\left[ \int_0^T \tilde{V}(x(t), t)\, dt \right] $$

展開すると:

$$ = \arg\min_{u(t)} \mathbb{E}\left[ \int_0^T V_0(x(t), t)\, dt - \kappa \int_0^T P(x(t) \to w_*, t) Q(w_*)\, dt \right] $$

第一項は客観コストの累積、第二項は 目標世界への引力の累積。両者のバランスで意思決定が出ます。

介入工学的解釈

中心式は 介入の対象 を明示します:

• $V_0$ への介入:現状の客観条件を変える(難しい・遅い)
• $P$ への介入:臨場感を上げる(可能・コーチング核心)
• $Q$ への介入:価値符号を変える(本人の wh 由来)
• $\kappa$ への介入:臨場感の効きを高める(経験で変化・短期は難)

最も介入しやすいのは $P$。これがコーチング・教育・マーケティング(操作)の介入対象になる理由。だから $P$ への介入には Ethic 4 条件が必須(初級編 §「Ethic」)。

認知戦数理との同型性

初級編で触れた認知戦の最適化:

$$ M^* = \arg\min[\mathrm{Cost} - \lambda \cdot \mathrm{Effect} + \mu \cdot \mathrm{Decept}] $$

中心式の構造と比較:

$$ \tilde{V} = V_0 - \kappa P Q + \delta \cdot \mathrm{Ethic} $$

(ここで $\delta \cdot \mathrm{Ethic}$ は介入の倫理項)

両者は 目的関数の構造が同型(係数の符号と項が対応)。違いは:

• 教育:$\delta \cdot \mathrm{Ethic}$ で操作を排除
• 認知戦:$\mu \cdot \mathrm{Decept}$ で偽情報を許容

δ·Ethic 項の有無が、操作と教育の数理的境界(初級編 §「Ethic」)。

次章への接続

中心式 $\tilde{V}$ にエフィカシー $E$ を加えると 定理6A の Ṽ_E になります。次章では 6A の証明スケッチ ── B.1 補題を Ṽ_E に適用して指数収束を導く流れ — を組み立てます。