Mean-field 近似と相転移

大規模集団(N が大きい時)を直接扱うと計算量が爆発します。本章は mean-field 近似と Lasry-Lions の Mean Field Games 理論を、T 理論の集団動学に接続します。

Mean-field 近似の基本思想

集団 $\{x_1, \ldots, x_N\}$ の各メンバーが他全員と相互作用する系では:

$$ \dot{x}_i = f(x_i, \mathbf{x}_{-i}) \quad \text{(} N-1 \text{ 個の他者依存)} $$

$N$ が大きいと、各メンバーの動学は 他全員の細かい状態 ではなく 集団の平均状態 にだけ依存する近似が機能します:

$$ \dot{x}_i \approx f(x_i, \bar{x}), \quad \bar{x} = \frac{1}{N}\sum_j x_j $$

これが mean-field 近似。$N$ → ∞ の極限で厳密になります(propagation of chaos)。

統計物理学からの起源

mean-field は元々 統計物理学(磁性体・気体)の道具:

• 各原子が 平均磁場で他と相互作用
• 多体問題が 一体問題 + 自己無撞着場に縮約

T 理論への類推:

• 各認知主体が 集団平均(平均的雰囲気)で他と結合
• 多人数の動学が 代表エージェント + 平均場で記述

T 理論的応用 — 集団 E の縮約

中級編 6B の集合動学:

$$ \frac{dE_i}{dt} = (1 - E_i)\big[\rho_i B_i + \sum_j \gamma_{ij} C_{ij} E_j\big] $$

mean-field 近似:結合行列の平均を $\bar\gamma C$ で代表させ、平均 $\bar{E} = \frac{1}{N}\sum E_j$:

$$ \frac{dE_i}{dt} \approx (1 - E_i)\big[\rho_i B_i + \bar\gamma C \bar{E}\big] $$

各メンバーは 集団平均 $\bar{E}$ にのみ依存。同質的な集団($\rho_i \approx \rho$)では:

$$ \frac{d\bar{E}}{dt} = (1 - \bar{E})(\rho B + \bar\gamma C \bar{E}) $$

これは 1 次元のスカラー方程式!$N$ に依存しない。

平均場方程式の解析

簡略化した方程式:

$$ \dot{\bar{E}} = (1 - \bar{E})(\rho B + \bar\gamma C \bar{E}) $$

平衡点($\dot{\bar{E}} = 0$):

• $\bar{E} = 1$(全員 E = 1、目標状態)
• $\bar{E} = -\rho B / (\bar\gamma C)$(物理的に無意味な負解)

$\bar\gamma C > 0$(High Shared)なら $\bar{E} = 1$ が大域吸引子。$\bar\gamma C < 0$(Low Shared)なら $\bar{E} = 0$ に発散しうる。

相転移

結合強度 $\bar\gamma C$ が連続的に変わる時、ある 臨界点で系の挙動が 不連続に変化します。

• $\bar\gamma C > \bar\gamma_c$:全員 E → 1(凝集相)
• $\bar\gamma C < \bar\gamma_c$:全員 E → 0(分裂相)

これは統計物理学の 相転移(phase transition)と完全な構造同型。

T 理論的含意:組織の質はゆっくり連続的に変わるのではなく、ある閾値を超えると不連続に転落する。中級編 §14 で予告したものの数理的根拠。

Lasry-Lions Mean Field Games

J.-M. Lasry と P.-L. Lions が 2007 年に体系化した Mean Field Games(MFG) 理論。

各エージェントが 他者の分布 $m(x, t)$ を観察しながら最適制御問題を解く:

$$ \min_{u_i} \mathbb{E}\left[\int_0^T V(x_i, u_i, m(x, t))\, dt\right] $$

subject to $dx_i = f(x_i, u_i)\, dt + \sigma\, dW_i$.

平均場 $m$ は全員の戦略の 集合的影響を反映。Nash 平衡で各エージェントが最適化されている状態。

MFG の連立方程式

MFG は HJB 方程式 + Fokker-Planck 方程式の連立:

1. HJB:各エージェントが値関数 $J(x, t)$ を満たす $$ \partial_t J + \min_u\big[V + \nabla J \cdot f + \tfrac{1}{2}\mathrm{tr}(\sigma\sigma^\top \nabla^2 J)\big] = 0 $$

2. Fokker-Planck:平均場 $m(x, t)$ が拡散方程式を満たす $$ \partial_t m + \nabla \cdot (m f^*) - \tfrac{1}{2}\mathrm{tr}(\sigma\sigma^\top \nabla^2 m) = 0 $$

$f^* = f(x, u^*(x, t))$ は最適制御による drift。

両者が 自己無撞着的に解かれることで Nash 平衡が見つかる。

T 理論への翻訳

Lasry-Lions の MFG を T 理論的に読み直すと:

• HJB:各メンバーの個人 Lyapunov 関数(定理1〜6A)
• Fokker-Planck:集合 E 分布の動学(定理6B の拡張)
• Nash 平衡:全員が個別最適化されつつ集団としても整合した状態
• 平均場:LUB として機能する集合的雰囲気?(試論)

つまり MFG は 集団 LUB の数理的形式化として読める可能性があります。

大規模 T 理論の計算可能性

MFG により、$N$ 個の連立 HJB が 2 つの偏微分方程式の連立に縮約されます:

これにより、理論的には任意の大きさの集団を扱える(数値的にはまだ難しいが)。

Master 方程式

MFG をさらに統一する Master 方程式:

$$ \partial_t U(x, m, t) + \mathcal{H}(x, m, \nabla_x U, \mathcal{D}_m U) = 0 $$

ここで $U(x, m, t)$ は 状態と分布の両方 に依存する value function、$\mathcal{D}_m$ は 分布についての微分(Wasserstein 微分)。

これは Lions の最近の研究で、MFG を Wasserstein 多様体上の Hamilton 系として再定式化する試み。

T 理論的には、個人と集団を統一的に扱う数理基盤として最有望。

異質な集団の扱い

均質な集団($\rho_i \approx \rho$)では mean-field がきれいに機能しますが、異質な集団 では:

• $\rho_i$ の分布 $\rho \sim p(\rho)$ を考慮
• 平均場が各タイプごとに分かれる
• 多種類エージェントの MFG(multi-population MFG)

T 理論的応用:多様性のある High Shared 組織(エキスパンダー的)を MFG で扱う研究方向。

開かれた研究問題

T 理論を MFG として完全に展開する作業の難所:

1. 平均場の認知的意味:何が「集団の雰囲気」か(LUB? 共有 TCZ?)
2. MFG 解の存在と一意性:認知系での仮定の検証
3. 異質集団の動学:多様性 + LUB 結合の MFG モデル
4. 計算的実装:深層学習を使った MFG 解(2018 年以降の研究)

Wasserstein 距離

MFG では Wasserstein 距離で確率分布の距離を測ります:

$$ W_2(m_1, m_2)^2 = \inf_{\pi}\int \|x - y\|^2\, d\pi(x, y) $$

$\pi$ は $m_1$ と $m_2$ を marginal とする結合分布。

直観:分布をどれだけ「動かせば」もう一方になるか(optimal transport)。

T 理論で集団の状態の変化を測る時、KL ダイバージェンスより Wasserstein の方が自然な場合があります。

Wasserstein 幾何

Wasserstein 距離で確率分布の空間 $\mathcal{P}_2$ を Riemannian 多様体として捉える(Otto 2001)。

• 測地線は optimal transport 経路
• 接ベクトルは速度場
• gradient flow は Wasserstein 上の最急降下

T 理論的応用:Bayesian 認知の動学を Wasserstein gradient flow として記述する試論。Friston 自由エネルギー原理との接続点。

次章への接続

確率動学・情報幾何・ネットワーク深掘りで T 理論の数理を一段深めました。次章は 圏論的視点で T.0 三言語同型を再記述する試論に進みます。Mac Lane の関手・自然変換を道具に、T 理論の最も抽象的な定式化に挑みます。