伊藤積分と確率微分方程式

中級編まで決定論的動学で扱ってきましたが、実際の認知系はノイズと確率的揺らぎで満ちています。本章は確率積分(伊藤積分)と確率微分方程式の入口を設置し、T 理論の確率版への橋渡しを作ります。

決定論的動学からのギャップ

中級編で扱った動学:

$$ \dot{x}(t) = f(x(t), u(t)) $$

これは 滑らかで確定的な軌道を仮定しています。しかし認知系では:

• 注意配分は ランダムな揺らぎを持つ(注意の遊走)
• 外部刺激は ノイズとして到来する
• 内的状態(気分・覚醒度)は 確率的に変動する

これらを取り込むには、$\dot{x}$ に ノイズ項 $\sigma \, dW_t$ を加える必要があります。

Brownian motion(Wiener 過程)

確率動学の基本素材は Brownian motion $W_t$ です。次の性質を持つ確率過程:

1. $W_0 = 0$
2. 増分 $W_{t+s} - W_t \sim \mathcal{N}(0, s)$(平均 0、分散 $s$ の正規分布)
3. 重ならない時間区間の増分は独立
4. パスは連続だがどこも微分不可能

Brownian motion は 連続だがガタガタな軌道で、認知系での「ノイズの蓄積」を表現する最も自然な数学的素材です。

伊藤の確率微分方程式(SDE)

T 理論を確率版に拡張する基本道具が 確率微分方程式(SDE):

$$ dx_t = f(x_t, u_t)\, dt + \sigma(x_t, u_t)\, dW_t $$

意味:

• $f \, dt$ : 決定論的なドリフト項(中級編までと同じ)
• $\sigma \, dW_t$ : 拡散項(ノイズによる揺らぎ)

$\sigma$ は 拡散係数行列(ノイズの強さと方向)。

伊藤積分の必要性

普通の Riemann 積分 $\int_0^t g(s)\, dW_s$ は 定義できません($W_s$ は微分不可能)。代わりに 伊藤積分を使います。

伊藤積分の定義(直観):区間を細かく分割し、

$$ \int_0^t g(s)\, dW_s = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} g(t_i)\big(W_{t_{i+1}} - W_{t_i}\big) $$

ここで $g(t_i)$ を区間の左端で取るのが伊藤積分の特徴です(右端や中点で取る Stratonovich 積分とは異なる結果になる)。

伊藤の補題

決定論的動学では連鎖律で $\frac{d}{dt}\Phi(x(t)) = \Phi'(x) \dot{x}$ でしたが、確率動学では 追加の項が出てきます。

$\Phi$ が $C^2$ 級なら:

$$ d\Phi(x_t) = \Phi'(x_t)\, dx_t + \frac{1}{2} \Phi''(x_t)\, \sigma^2(x_t)\, dt $$

第二項 $\frac{1}{2}\Phi'' \sigma^2 \, dt$ が伊藤の補題の特徴。これは 二次変分(quadratic variation)から来ます:Brownian motion は微分できないが、二乗の積分は有限値を持つ。

つまり Brownian motion の存在で、$\Phi$ の時間発展に追加の凸性補正が入ります。

SDE 版の Lyapunov 解析

Stochastic Lyapunov 関数を $\Phi(x_t)$ とすると、伊藤の補題から:

$$ d\Phi = \big[\Phi' f + \tfrac{1}{2}\Phi'' \sigma^2\big]\, dt + \Phi' \sigma\, dW_t $$

期待値の動学(確率項 $dW_t$ の期待は 0):

$$ \frac{d}{dt}\mathbb{E}[\Phi(x_t)] = \mathbb{E}\big[\Phi'(x_t) f(x_t) + \tfrac{1}{2}\Phi''(x_t) \sigma^2(x_t)\big] $$

これを 生成作用素 $\mathcal{L}\Phi := \Phi' f + \frac{1}{2}\Phi'' \sigma^2$ と書く。

確率版 B.1 補題

決定論的 B.1 補題の対応物:

生成作用素 $\mathcal{L}\Phi \le -\lambda \Phi$ なら、$\mathbb{E}[\Phi(x_t)] \le \Phi(x_0) e^{-\lambda t}$

ただし 個別経路では指数収束が保証されない — 期待値の収束のみ。これが決定論的版との決定的な違い。

つまり「平均すれば」TCZ に向かうが、ある日たまたま大きく外れる経路はあり得る。これが認知の不確実性の数理的記述です。

認知系での解釈

T 理論を SDE に拡張する含意:

実用的含意:

• 計画通りいかなくても期待値レベルでは TCZ に向かう
• ただし 個別の日では大きく外れる可能性
• ノイズが大きい($\sigma$ 大)時は 決定論的予測が破綻

確率制御問題の再定式化

最適制御問題は SDE で次のように書けます:

$$ \pi^*(x) = \arg\min_{u(\cdot)} \mathbb{E}\left[ \int_0^T V(x_t, u_t)\, dt \;\Big|\; x_0 = x \right] $$

subject to $dx_t = f(x_t, u_t)\, dt + \sigma(x_t, u_t)\, dW_t$.

これは 確率最適制御(stochastic optimal control)の標準形式。次章で扱う Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程式で解きます。

拡散項 σ への介入は可能か

決定論的版でコーチング介入は ドリフト $f$ への介入(制御 $u$ で)でした。SDE 版では 拡散 $\sigma$ への介入も意味があるか?

• σ を下げる介入:ノイズを減らす(マインドフルネス・瞑想・環境整理)
• σ を上げる介入:多様性を増やす(探索・実験・創造性)

両者ともコーチング・介入工学の対象となり得ます。決定論的 T 理論では捉えられない次元です。

Stratonovich 積分との関係(完全情報)

伊藤積分以外に Stratonovich 積分(中点で評価)があり、これは物理学者好みの形式です。両者の関係:

$$ \int g \circ dW = \int g \, dW + \tfrac{1}{2}\int g' \sigma \, dt $$

(Stratonovich 左、伊藤右)

T 理論を確率版に拡張する時、どちらの解釈を採るかで定理の形が微妙に変わります。本書は伊藤を採用していますが、この選択自体が研究上の判断であり、読者によっては Stratonovich を支持するかもしれません。

厳密性のための前提

SDE 理論の厳密化には次が必要(完全情報):

1. 可測空間 + フィルトレーション:時刻 $t$ までの情報の集合 $\mathcal{F}_t$
2. 適合性:$x_t$ が $\mathcal{F}_t$ 可測(過去の情報のみで決まる)
3. リプシッツ条件:$f, \sigma$ がリプシッツ連続(解の存在と一意性)
4. 線形成長条件:$\|f\|, \|\sigma\| \le C(1 + \|x\|)$(爆発を防ぐ)

これらは Karatzas-Shreve "Brownian Motion and Stochastic Calculus" の標準前提。本書はスケッチで扱いますが、形式論文ではすべて確認が必要。

次章への接続

SDE が用意できたので、次章では確率最適制御を Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程式で解く道具を組み立てます。決定論版の動的計画法の確率拡張です。