定理 1 — 個体の TCZ 収束

論文の最初の具体的定理。個体の認知軌道が TCZ に指数的に収束することを示します。後の 6 定理すべての基底となる、最も基本的な収束定理です。

定理 1 の主張

定理 1:適切な制御 $\pi_c(x)$ のもと、初期状態 $x_0$ から出発した個体の軌道 $x(t)$ は、$t \to \infty$ で $\mathrm{TCZ}(x_0)$ に収束する。

形式的には:

$$ \Phi = V_0 \to 0 \quad \Leftrightarrow \quad x(t) \to \mathrm{TCZ}(x_0) $$

Lyapunov 関数 $\Phi = V_0$ が指数的に 0 へ収束し、軌道が TCZ に到達する。

中心となる制御方程式

定理 1 を駆動する方程式:

$$ \pi_c(x) = \arg\min_{u(t)} \mathbb{E}\left[ \int_0^T V_0(x(t), t)\, dt \right] $$

各記号(復習):

• $\arg\min$:最小値を達成する $u$(縦軸ではなく横軸)
• $\int V_0\, dt$:累積不快(降り積もる雪のイメージ)
• $\mathbb{E}[\cdot]$:可能世界に対する期待値

直観 — 「降り積もる」

V_0(t) を縦軸、t を横軸とすると、$\int V_0\, dt$ は グラフの下の面積。

直観的には:

• 短期的不快のスパイクがあっても、長期的には均された面積が問題
• 毎日の小さな不快も積もると大きな面積
• 人は 累積最小化するように行動する

短期最適 vs 長期最適

「TCZ の外で成功した人」がいる場合:

• 短期的には TCZ 外で局所最適に到達することがある
• 長期的(人生スケール)には TCZ への引力に負けて戻る
• 定理 1 は 極限的・長期的主張

つまり、TCZ から外れた成功は 反例ではない(局所最適と極限値は別物)。

証明スケッチ(B.1 補題の特殊化)

定理 1 は B.1 補題(本コース第 10 章で詳細)を $\Phi = V_0$ に適用したもの:

1. Step 1:$\Phi = V_0 - V_{\min}$ を Lyapunov 関数として選ぶ
2. Step 2:正則条件(非負・$C^1$ 級・最小性)を確認
3. Step 3:制御可能性仮定のもと $\dot\Phi \le -\lambda \Phi$ を示す
4. Step 4:Grönwall 比較定理で $\Phi(t) \le \Phi(0) e^{-\lambda t}$
5. Step 5:前方不変性で TCZ から出ない

5 ステップで指数収束が示される。

仮定

定理 1 の証明に必要な仮定:

• $V_0 \in C^1$(連続微分可能)
• $V_0$ は有界(最小値 $V_{\min}$ を持つ)
• 動学 $\dot{x} = f(x, u)$ がリプシッツ連続(解の存在と一意性)
• 制御可能性:$\dot{V_0} \le -\lambda V_0$ となる $u$ が常に取れる

これらは認知系で第一近似的に成り立つ範囲(完全情報:完全な現実検証は今後)。

含意 — 個体の自然な収束

定理 1 の哲学的含意:

「人は自然と、自分にとって楽な状態へ収束する」

これは古典的なホメオスタシス(生理学・心理学)の概念を 数理的に厳密化したもの。

ただし注意:

• 「楽な状態」= TCZ は人によって違う(個人差)
• 「楽でない方へ向かう」のは 集合介入や抽象上昇(後の定理で追加)
• 単独の個体は本質的に 保守的(現状維持的)

単独 vs 集合・抽象

定理 1 は 単独の個体に限定された主張です。

• 個体が他者と相互作用 → 定理 2(Shared-TCZ)
• 個体が抽象度を上げる → 定理 3(LUB)
• 介入で動かす → 定理 4-6B(中心式・エフィカシー等)

つまり定理 1 は 基底で、その上に他の定理が積み重なる。

本章のまとめ

• 定理 1 = 個体の TCZ 収束(最も基本的な収束定理)
• Lyapunov 関数 $\Phi = V_0$、指数収束
• B.1 補題の特殊化として証明される
• 短期最適と長期極限は別(TCZ 外の成功は反例ではない)
• 単独個体の保守性 = 後の定理が追加する動学

次章への接続

定理 1 は単独個体。次章では 集合への拡張 ── 定理 2 Shared-TCZ を扱います。他者との摩擦と影響度を考慮した動学です。